Question

4．對于函數(shù)f（x）=xlnx有如下結(jié)論：
①該函數(shù)為偶函數(shù)；
②若f′（x₀）=2，則x₀=e；
③其單調(diào)遞增區(qū)間是[$\frac{1}{e}$，+∞）；
④值域是[$\frac{1}{e}$，+∞）；
⑤該函數(shù)的圖象與直線y=-$\frac{1}{e}$有且只有一個公共點．（本題中e是自然對數(shù)的底數(shù)）
其中正確的是②③⑤（請把正確結(jié)論的序號填在橫線上）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域、導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值，從而判斷結(jié)論即可．

解答 解：f（x）=xlnx的定義域是（0，+∞），故不是偶函數(shù)，故①錯誤；
f′（x）=lnx+1，令f′（x₀）=2，即lnx₀+1=2，解得：x₀=e，故②正確；
令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，
解得：x＞$\frac{1}{e}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[$\frac{1}{e}$，+∞），故③正確；
由f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
得：f（x）的最小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
故f（x）的值域是[-$\frac{1}{e}$，+∞），故④錯誤；
故該函數(shù)的圖象與直線y=-$\frac{1}{e}$有且只有一個公共點，⑤正確；
故答案為：②③⑤．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．