Question

3．已知點P（$\sqrt{3}$，1），Q（cosx，sinx），O為坐標原點，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{QP}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若A為△ABC的內(nèi)角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用函數(shù)的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范圍，然后利用基本不等式求解最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{QP}$=（$\sqrt{3}$，1）•（$\sqrt{3}$-cosx$\sqrt{3}$，1-sinx）
=-$\sqrt{3}$cosx-sinx+4=-2sin（x+$\frac{π}{3}$）+4，
f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=$\frac{2π}{3}$，
又∵BC=3，
∴9=（b+c）²-bc．
∵bc≤$\frac{（b+c）^{2}}{4}$，
∴$\frac{3（b+c）^{2}}{4}≤9$，
∴b+c≤2$\sqrt{3}$，當且僅當b=c取等號，
∴三角形周長最大值為3+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的周期，基本不等式以及余弦定理的應用，考查計算能力．