Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin²$\frac{B-C}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$．
（Ⅰ） 求角A的大��；
（Ⅱ） 若a=$\sqrt{7}$，△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 求出$B+C=\frac{π}{3}$，即可求角A的大小；
（Ⅱ） 若a=$\sqrt{7}$，△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，利用余弦定理及三角形的面積公式，求b+c的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\frac{1-cos（B-C）}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$，（2分）
化簡得$\frac{1-cosBcosC-sinBsinC}{2}+sinBsinC=\frac{1}{4}$，
整理得$cosBcosC-sinBsinC=\frac{1}{2}$，即$cos（B+C）=\frac{1}{2}$，（4分）
由于0＜B+C＜π，則$B+C=\frac{π}{3}$，所以$A=\frac{2π}{3}$．（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}bc×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以bc=2．（8分）
根據(jù)余弦定理得${（\sqrt{7}）^2}={b^2}+{c^2}-2bc•cos\frac{2π}{3}={b^2}+{c^2}+bc={（b+c）^2}-bc$，（10分）
即7=（b+c）²-2，所以b+c=3．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．