Question

6．已知點P（a，0），直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程式為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）已知a＞1，若直線l與曲線C交于兩點A，B，且|PA|•|PB|=1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
利用互化公式可得C的直角坐標方程．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得：${t}^{2}+（\sqrt{3}a-\sqrt{3}）t+{a}^{2}-2a=0$，由△＞0，解得a范圍，利用|PA|•|PB|=1=|t₁t₂|，解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t可得x=$\sqrt{3}$y+a．
由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
利用互化公式可得C的直角坐標方程：x²+y²=2x．
（Ⅱ）把$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），代入x²+y²=2x，
得${t}^{2}+（\sqrt{3}a-\sqrt{3}）t+{a}^{2}-2a=0$，
由△＞0，解得-1＜a＜3．
∴t₁t₂=a²-2a．
∵|PA|•|PB|=1=|t₁t₂|，∴a²-2a=±1，
∵a＞1，∴a=1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程及其應用、極坐標方程化為直角坐標方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．