Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：x²+y²-4x-1=0與x軸正半軸的交點(diǎn)為D．
（1）若直線(xiàn)m：ax-2y+a+2=0（a＞0）與圓C相切，求a的值；
（2）過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求得a的值；
（2）將直線(xiàn)方程代入圓方程，利用三角形的面積公式，采用換元法，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得△ABD面積的最大值．

解答 解：（1）由相切得$\frac{|3a+2|}{{\sqrt{{a^2}+4}}}=\sqrt{5}$，化簡(jiǎn)得：a²+3a-4=0，解得a=1或a=-4，
由于a＞0，故a=1．…（4分）
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，易知$D（2+\sqrt{5}，0）$，…（5分）
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=ty，由$\left\{\begin{array}{l}x=ty\\{x^2}+{y^2}-4x-1=0\end{array}\right.$，
消元得（t²+1）y²-4ty-1=0，…（6分）
∴由△＞0，則丨y₁-y₂丨=$\frac{\sqrt{△}}{1+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{16{t}^{2}+4（{t}^{2}+1）}}{1+{t}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5{t}^{2}+1}}{1+{t}^{2}}$，…（7分）
${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}（2+\sqrt{5}）（|{y_1}|+|{y_2}|）=\frac{1}{2}（2+\sqrt{5}）（|{y_1}-{y_2}|）=（2+\sqrt{5}）\sqrt{\frac{{5{t^2}+1}}{{{{（{t^2}+1）}^2}}}}$，…（8分）
設(shè)m=5t²+1（m≥1），
則${S_{△ABD}}=（2+\sqrt{5}）\sqrt{\frac{{5{t^2}+1}}{{{{（{t^2}+1）}^2}}}}=（2+\sqrt{5}）\sqrt{\frac{25m}{{{m^2}+8m+16}}}=（2+\sqrt{5}）\sqrt{\frac{25}{{m+\frac{16}{m}+8}}}$…（10分）
∴${S_{△ABD}}≤\frac{5}{4}（2+\sqrt{5}）$（當(dāng)m=4時(shí)取等號(hào)）
∴△ABD面積最大值為$\frac{5}{4}（2+\sqrt{5}）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查換元法，基本不等式的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．