Question

10．如圖，在底邊為等邊三角形的斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=$\sqrt{3}$AB，四邊形B₁C₁CB為矩形，過A₁C做與直線BC₁平行的平面A₁CD交AB于點D．
（Ⅰ）證明：CD⊥AB；
（Ⅱ）若AA₁與底面A₁B₁C₁所成角為60°，求二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC₁交AC于點E，連接DE．推導(dǎo)出BC₁∥DE，由四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，得ED為△AC₁B的中位線，從而D為AB的中點，由此能證明CD⊥AB．
（Ⅱ）過A作AO⊥平面A₁B₁C₁垂足為O，連接A₁O，以O(shè)為原點，以$\overrightarrow{O{A_1}}，\overrightarrow{O{B_1}}，\overrightarrow{OA}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC₁交AC于點E，連接DE．
因為BC₁∥平面A₁CD，BC₁?平面ABC₁，平面ABC₁∩平面A₁CD=DE，
所以BC₁∥DE．（2分）
又因為四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，
所以E為AC₁的中點，所以ED為△AC₁B的中位線，所以D為AB的中點．
又因為△ABC為等邊三角形，所以CD⊥AB．（4分）
解：（Ⅱ）過A作AO⊥平面A₁B₁C₁垂足為O，連接A₁O，設(shè)AB=2．
因為AA₁與底面A₁B₁C₁所成角為60°，所以∠AA₁O=60°．
在RT△AA₁O中，因為${A_1}A=2\sqrt{3}$，
所以${A_1}O=\sqrt{3}$，AO=3．
因為AO⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，
所以AO⊥B₁C₁．
又因為四邊形B₁C₁CB為矩形，所以BB₁⊥B₁C₁，
因為BB₁∥AA₁，所以B₁C₁⊥AA₁．
因為AA₁∩AO=A，AA₁?平面AA₁O，AO?平面AA₁O，所以B₁C₁⊥平面AA₁O．
因為A₁O?平面AA₁O，所以B₁C₁⊥A₁O．又因為${A_1}O=\sqrt{3}$，所以O(shè)為B₁C₁的中點．（7分）
以O(shè)為原點，以$\overrightarrow{O{A_1}}，\overrightarrow{O{B_1}}，\overrightarrow{OA}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
則${A_1}（{\sqrt{3}，0，0}）$，C₁（0，-1，0），A（0，0，3），B₁（0，1，0）．
因為$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=（{-\sqrt{3}，1，0}）$，
所以$B（{-\sqrt{3}，1，3}）$，$D（{\frac{{-\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，3}）$，
因為$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（{-\sqrt{3}，-1，0}）$，
所以$C（{-\sqrt{3}，-1，3}）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（{-2\sqrt{3}，1，3}）$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（{0，-2，0}）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（{-2\sqrt{3}，-1，3}）$，$\overrightarrow{{A_1}D}=（{\frac{{-3\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，3}）$．（8分）
設(shè)平面BA₁C的法向量為n=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{A_1}B}•n=0\\ \overrightarrow{BC}•n=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{3}x+y+3z=0\\ y=0\end{array}\right.$
令$x=\sqrt{3}$，得z=2，所以平面BA₁C的一個法向量為$n=（{\sqrt{3}，0，2}）$．
設(shè)平面A₁CC₁的法向量為m=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{A_1}{C_1}}•m=0\\ \overrightarrow{{A_1}C}•m=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}a+b=0\\ 2\sqrt{3}a+b-3c=0\end{array}\right.$
令$a=\sqrt{3}$，得b=-3，c=1，所以平面A₁CC₁的一個法向量為$m=（{\sqrt{3}，-3，1}）$．（10分）
所以$cos\left?{n，m}\right＞=\frac{n•m}{|n||m|}=\frac{{5\sqrt{91}}}{91}$，
因為所求二面角為鈍角，所以二面角B-A₁C-C₁的余弦值為$-\frac{{5\sqrt{91}}}{91}$．（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角、空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)數(shù)結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．