Question

2．若不等式ln（x+2）+a（x²+x）≥0對(duì)于任意的x∈[-1，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． [0，1]
• C． [0，e]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 令f（x）=ln（x+2）+a（x²+x），x∈[-1，+∞），討論a的范圍，判斷f（x）的單調(diào)性，得出f_min（x），令f_min（x）≥0即可．

解答 解：令f（x）=ln（x+2）+a（x²+x），x∈[-1，+∞），
∵不等式ln（x+2）+a（x²+x）≥0對(duì)于任意的x∈[-1，+∞）恒成立，
∴f_min（x）≥0，
f′（x）=$\frac{1}{x+2}$+2ax+a=$\frac{2a{x}^{2}+5ax+2a+1}{x+2}$，
令g（x）=2ax²+5ax+2a+1，
（1）若a=0，則g（x）=1，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f_min（x）=f（-1）=0，符合題意；
（2）若a＞0，則g（x）的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{5}{4}$，
∴g（x）在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g_min（x）=g（-1）=1-a，
①若1-a≥0，即0＜a≤1，則g（x）≥0，∴f′（x）≥0，由（1）可知符合題意；
②若1-a＜0，即a＞1，則存在x₀∈（-1，+∞），
使得當(dāng)x∈（-1，x₀）時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，g（x）＞0，
∴f（x）在（-1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）＜f（-1）=0，不符合題意；
（3）若a＜0，則g（x）的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{5}{4}$，
∴g（x）在[-1，+∞）上單調(diào)遞減，g_max（x）=g（-1）=1-a＞0，
∴存在x₁∈（-1，+∞），使得當(dāng)x∈（-1，x₁）時(shí)，g（x）＞0，當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，g（x）＜0，
∴f（x）在（-1，x₁）單調(diào)遞增，在（x₁，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在（-1，+∞）上不存在最小值，不符合題意；
綜上，a的取值范圍是[0，1]．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)恒成立問(wèn)題研究及函數(shù)最值計(jì)算，屬于中檔題．