如圖示,四棱錐P----ABCD的底面是邊長為1的正方形,PA^CD,PA = 1, PD = ,E為PD上一點(diǎn),PE = 2ED.
(1)  求證:PA ^平面ABCD;
(2)  求二面角D---AC---E的正切值;
(3) 在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使得BF // 平面AEC?若存在,指出F點(diǎn)的位置,并證明;若不存在,
說明理由.

解:(1)  PA =" PD" =" 1" ,PD =" 2" ,
 PA2 + AD2 = PD2, 即:PA ^ AD---2分
又PA ^ CD , AD , CD 相交于點(diǎn)D,

 PA ^平面ABCD-------4分
(2)過E作EG//PA 交AD于G,從而EG ^平面ABCD,
且AG =" 2GD" , EG = ,PA = , ------5分
連接BD交AC于O, 過G作GH//OD ,交AC于H,
連接EH. GH ^ AC , EH ^ AC ,
Ð EHG為二面角D—AC―E的平面角.-----6分
tanÐEHG == . -------8分
(3)以AB , AD , PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系]
則A(0 ,0, 0),B(1,0,0) ,C(1,1,0),P(0,0,1),E(0 , ,), =" (1,1,0),"  =" (0" , , )---9分
設(shè)平面AEC的法向量=" (x," y,z) , 則
 ,即:, 令y =" 1" ,
 =" (-" 1,1, - 2 )-------------10分
假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)F, 且 ,
(0 £ £ 1), 使得:BF//平面AEC, 則× = 0. 又因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823204144053404.png" style="vertical-align:middle;" />= +  = (0 ,1,0)+
(-,-,)= (-,1-,),× =+ 1- - 2 =" 0" ,  = ,所以存在PD的中點(diǎn)F,
使得BF//平面AEC. ----------------12分
練習(xí)冊系列答案
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