Question

2．已知P是曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（xy≠0）上的動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，若M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點，且$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，則|$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是（0，2）．

Answer 1

分析 橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（xy≠0），a=3，b=$\sqrt{5}$，則c=$\sqrt{9-5}$=2，如圖所示．M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點，且F₁M⊥MP，可得點M是底邊F₁N的中點．又點O是線段F₁F₂的中點，|OM|=$\frac{1}{2}$丨$\overrightarrow{{F}_{2}N}$丨，|PF₁|=|PN|，可得∠F₂NM＞∠F₂F₁N，可得|F₁F₂|＞|F₂N|，即可得出．

解答 解：由橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（xy≠0），a=3，b=$\sqrt{5}$，則c=$\sqrt{9-5}$=2，
如圖所示．∵M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點，
∵$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}$⊥$\overrightarrow{MP}$，
∴點M是底邊F₁N的中點，
又點O是線段F₁F₂的中點，
∴|OM|=$\frac{1}{2}$丨$\overrightarrow{{F}_{2}N}$丨，
∵|PF₁|=|PN|，
∴∠F₂NM＞∠F₂F₁N，
∴|F₁F₂|＞|F₂N|，
∴0＜|OM|$\frac{1}{2}$×2c=c=2．
∴則|OM|的取值范圍是（0，2）．
故答案為：（0，2）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．