Question

如圖，在三棱錐中，平面，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設分別為的中點，點為△內(nèi)一點，且滿足，

求證：∥面；

（Ⅲ）若，，

求二面角的余弦值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）因為平面，平面，

       所以．

      又因為，且，

所以平面．

又因為平面，

所以．                              

（Ⅱ）

解法1:因為平面，所以，．又因為，

所以建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，，，

則，，，

，．

又因為，

所以．

于是，

，．

設平面的一個法向量

，則有

 即 

不妨設，則有，所以．

因為，

所以．又因為平面，

所以∥平面．                                   ………………  9分

 

解法2：

取中點，連，則.

由已知可得,

則點在上.連結(jié)并延長交于，連.

因為分別為的中點，

所以∥,即為的中點.

又因為為線段的中點，

所以∥.

又平面,平面,

所以∥平面．

………………  9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一個法向量．

     又因為面，所以面的一個法向量是．

   又，

由圖可知，二面角為銳角，

       所以二面角的余弦值為．                 ………………  14分