Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，設(shè)它的左、右焦點(diǎn)分別為、，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（Ⅱ）過點(diǎn)作不與軸垂直的直線交橢圓于、（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，試判斷的大小是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的方程為，離心率；（Ⅱ）是定值，理由見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意建立有關(guān)、、的方程組，求出、、的值，進(jìn)而可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，設(shè)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出，進(jìn)而可得出為定值.

（Ⅰ）解：根據(jù)題意得，解得，

所以橢圓的方程為，離心率；

（Ⅱ） 因?yàn)橹本�不與軸垂直，所以直線的斜率不為，

設(shè)直線的方程為，設(shè)、，

聯(lián)立方程，化簡得.

顯然點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以．

則，.

又因?yàn)?/span>，所以，．

所以，

所以，即是定值.