Question

7．如圖，DP⊥x軸，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，且$\frac{{|{DM}|}}{{|{DP}|}}=\frac{3}{2}$，當(dāng)點(diǎn)P在圓x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M形成的軌跡為L(zhǎng)．
（1）求軌跡L的方程；
（2）已知定點(diǎn)E（-2，0），若直線y=kx+2（k≠0）與點(diǎn)M的軌跡L交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，$\frac{{|{DM}|}}{{|{DP}|}}=\frac{3}{2}$，確定M，P坐標(biāo)之間的關(guān)系，P的坐標(biāo)代入圓的方程，即可求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程； 
（2）若存在k的值，使以AB為直徑的圓過(guò)M點(diǎn)，則EA⊥EB，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁•y₂+（x₁+2）（x₂+2）=0，構(gòu)造方程求出k值即可．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則x₀=x，y₀=$\frac{2y}{3}$①
∵P（x₀，y₀）在圓上，
∴x₀²+y₀²=4②
將①代入②得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$（y≠0）．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$（y≠0）；
（2）假若存在k的值，使以AB為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)．
由直線與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：（9+4k²）x²+16kx-20=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+9}$，x₁•x₂=-$\frac{20}{4{k}^{2}+9}$
∴y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²（x₁•x₂）+2k（x₁+x₂）+4
要使以AB為直徑的圓過(guò)M點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)EA⊥EB，即y₁•y₂+（x₁+2）（x₂+2）=0時(shí)滿足條件
∴（k²+1）（x₁•x₂）+2（k+1）（x₁+x₂）+8=0
代入化簡(jiǎn)得-20k²-32k+52=0
解得k=-$\frac{13}{5}$或1，
經(jīng)檢驗(yàn)k=-$\frac{13}{5}$或1滿足條件，
綜上可知，存在k=-$\frac{13}{5}$或1使以AB為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．