Question

14．某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進(jìn)行評分，滿分均為60分．整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：

B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表
分?jǐn)?shù)區(qū)間	頻數(shù)
[0，10）	2
[10，20）	3
[20，30）	5
[30，40）	15
[40，50）	40
[50，60]	35

定義學(xué)生對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”如下：

分?jǐn)?shù)	[0，30）	[30，50）	[50，60]
滿意度指數(shù)	0	1	2

（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對A餐廳評價“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù)；
（Ⅱ）從該校在A，B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計其對A餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對B餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高的概率；
（Ⅲ）如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由對A餐廳評分的頻率分布直方圖，求解對A餐廳“滿意度指數(shù)”為0的頻率．然后求解對A餐廳評價“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)“對A餐廳評價‘滿意度指數(shù)’比對B餐廳評價‘滿意度指數(shù)’高”為事件C．記“對A餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為1”為事件A₁；“對A餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為2”為事件A₂；“對B餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為0”為事件B₀；“對B餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為1”為事件B₁．求出概率，利用獨立重復(fù)概率乘法公式求解即可．
（Ⅲ）從學(xué)生對A，B兩家餐廳評價的“滿意度指數(shù)”的期望角度看：得到分布列，求出期望，即可推出結(jié)果．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由對A餐廳評分的頻率分布直方圖，得
對A餐廳“滿意度指數(shù)”為0的頻率為（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，[（2分）]
所以，對A餐廳評價“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù)為100×0.2=20．[（3分）]
（Ⅱ）設(shè)“對A餐廳評價‘滿意度指數(shù)’比對B餐廳評價‘滿意度指數(shù)’高”為事件C．
記“對A餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為1”為事件A₁；“對A餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為2”為事件A₂；“對B餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為0”為事件B₀；“對B餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為1”為事件B₁．
所以P（A₁）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（A₂）=0.4，[（5分）]
由用頻率估計概率得：$P（{B_0}）=\frac{2+3+5}{100}=0.1$，$P（{B_1}）=\frac{15+40}{100}=0.55$．[（7分）]
因為事件A_i與B_j相互獨立，其中i=1，2，j=0，1．
所以P（C）=P（A₁B₀+A₂B₀+A₂B₁）
=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3．[（10分）]
所以該學(xué)生對A餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對B餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高
的概率為0.3．
（Ⅲ）如果從學(xué)生對A，B兩家餐廳評價的“滿意度指數(shù)”的期望角度看：
A餐廳“滿意度指數(shù)”X的分布列為：

X	0	1	2
P	0.2	0.4	0.4

B餐廳“滿意度指數(shù)”Y的分布列為：

Y	0	1	2
P	0.1	0.55	0.35

因為EX=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；
EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，
所以EX＜EY，會選擇B餐廳用餐．[（13分）]
注：本題答案不唯一．只要考生言之合理即可．

點評 本題考查概率的應(yīng)用，分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力．