Question

13．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=1，在以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸的平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C₁所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍，得到曲線C₂．
（Ⅰ）求曲線C₂的參數(shù)方程；
（Ⅱ）直線l過點(diǎn)M（1，0），傾斜角為$\frac{π}{4}$，與曲線C₂交于A、B兩點(diǎn)，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出曲線C₂方程，再求出參數(shù)方程；
（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可得到所求|MA|•|MB|的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=1，直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1，
曲線C₂方程為$\frac{1}{9}$x²+y²=1，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入圓的直角坐標(biāo)方程$\frac{1}{9}$x²+y²=1，
化簡(jiǎn)得5t²+$\sqrt{2}$t-8=0，
即有t₁t₂=-$\frac{8}{5}$，
可得|MA|•|MB|=|t₁t₂|=$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查參數(shù)方程和普通方程的關(guān)系，同時(shí)考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．