17.已知雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,且點(diǎn)$({\sqrt{5},\frac{1}{2}})$在雙曲線C上,則雙曲線C的方程為( 。
A.$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$B.${y^2}-\frac{x^2}{4}=1$C.$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$D.$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$

分析 由雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,且點(diǎn)$({\sqrt{5},\frac{1}{2}})$在雙曲線C上,知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}}\\{\frac{5}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}=1}\end{array}\right.$,由此能求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解答 解:∵雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,且點(diǎn)$({\sqrt{5},\frac{1}{2}})$在雙曲線C上,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}}\\{\frac{5}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}=1}\end{array}\right.$,
解得:a2=4,b2=1,
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1.
故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

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