Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x|（x-a），a為實(shí)數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，2]為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a（a＜0），使得f（x）在閉區(qū)間$[{-1，\frac{1}{2}}]$上的最大值為2，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)是奇函數(shù)定義，列出關(guān)系式，即可求出a的值；
（2）推出二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式求解即可．
（3）化簡(jiǎn)函數(shù)為分段函數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，列出關(guān)系式求解即可．

解答 （本小題滿分16分）
解：（1）因?yàn)槠婧瘮?shù)f（x）定義域?yàn)镽，
所以f（-x）=-f（x）對(duì)任意x∈R恒成立，
即|-x|（-x-a）=-|x|（x-a），即|x|（-x-a+x-a）=0，
即2a|x|=0對(duì)任意x∈R恒成立，
所以a=0．…（4分）
（2）因?yàn)閤∈[0，2]，所以f（x）=x（x-a），…（5分）
顯然二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為$x=\frac{a}{2}$，由于函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
所以$\frac{a}{2}≤0$，
即a≤0（若分a＜0，a=0，a＞0三種情況討論他可）…（8分）
（3）∵a＜0，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（{x-a}），x≥0\\ x（{a-x}），x＜0\end{array}\right.$，
∴f（-1）=-1-a≤2，∴-a≤3（先用特殊值約束范圍）
∴$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-a}）≤\frac{7}{4}＜2$，f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴f（x）必在區(qū)間[-1，0]上取最大值2．…（10分）
當(dāng)$\frac{a}{2}＜-1$，即a＜-2時(shí)，則f（-1）=2，a=-3，成立…（12分）
當(dāng)$\frac{a}{2}≥-1$，即0＞a≥-2時(shí)，$f（{\frac{a}{2}}）=2$，則$a=±2\sqrt{2}$（舍）…（14分）
綜上，a=-3．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．