Question

19．下列命題中，真命題的是（　�。�

• A． 存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx≥2
• B． 任意x∈（3，+∞），x²＞3x-1
• C． 存在x∈R，x²+x=-1
• D． 任意x∈（$\frac{π}{2}$，π），tanx＞sinx

Answer 1

分析 求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，sinx+cosx的范圍，可判斷A；根據(jù)f（x）=x²-3x+1，當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，f（x）＞f（3）=1恒成立，可判斷B；根據(jù)方程x²+x=-1無實(shí)根，可判斷C；根據(jù)三角函數(shù)的定義，可判斷D．

解答 解：x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，sinx+cosx∈[1，$\sqrt{2}$]，
2∈[1，$\sqrt{2}$]，
故A存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx≥2為假命題；
令f（x）=x²-3x+1，則當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，f（x）為增函數(shù)，f（x）＞f（3）=1，
故B任意x∈（3，+∞），x²＞3x-1，為真命題；
方程x²+x=-1無實(shí)根，
故C存在x∈R，x²+x=-1為假命題；
x∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，tanx＜0，sinx＞0，
故D任意x∈（$\frac{π}{2}$，π），tanx＞sinx為假命題；
故：B．

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了全稱命題，特征命題，函數(shù)的值域，三角函數(shù)的定義等知識點(diǎn)，難度中檔．