4.已知點(0,-$\sqrt{5}$)是中心在原點,長軸在x軸上的橢圓的一個頂點,離心率為$\frac{\sqrt{6}}{6}$,橢圓的左右焦點分別為F1和F2
(1)求橢圓方程;
(2)點M在橢圓上,求△MF1F2面積的最大值;
(3)試探究橢圓上是否存在一點P,使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0,若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

分析 (1)由題意設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)頂點的坐標(biāo)和離心率得b=$\sqrt{5}$,根據(jù)a2=b2+c2求出a的值,即求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)根據(jù)(1)求出的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,求出點M縱坐標(biāo)的范圍,即求出三角形面積的最大值;
(3)先假設(shè)存在點P滿足條件,根據(jù)向量的數(shù)量積得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$,根據(jù)橢圓的焦距和橢圓的定義列出兩個方程,求出S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$的值,結(jié)合(2)中三角形面積的最大值,判斷出是否存在點P.

解答 解:(1)由題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,
由已知得,b=$\sqrt{5}$.(2分)
則e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{5}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{6}$,
解得a2=6(4分)
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1(5分)
(2)令M(x1,y1),
則S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F1F2|•|y1|=$\frac{1}{2}$•2•|y1|=|y1|(7分)
∵點M在橢圓上,∴-$\sqrt{5}$≤y1≤$\sqrt{5}$,
故|y1|的最大值為$\sqrt{5}$,(8分)
∴當(dāng)y1=±$\sqrt{5}$時,S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$的最大值為$\sqrt{5}$.(9分)
(3)假設(shè)存在一點P,使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0,
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$≠$\overrightarrow{0}$,$\overrightarrow{P{F}_{2}}$≠$\overrightarrow{0}$,
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$,(10分)
∴△PF1F2為直角三角形,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①(11分)
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2$\sqrt{6}$ ②(12分)
∴②2-①,得2|PF1|•|PF2|=20,∴$\frac{1}{2}$|PF1|•|PF2|=5,(13分)
即S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=5,由(1)得S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$最大值為$\sqrt{5}$,故矛盾,
∴不存在一點P,使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0.(14分)

點評 本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質(zhì)、向量數(shù)量積的幾何意義,利用a、b、c、e幾何意義和a2=b2+c2求出a和b的值,根據(jù)橢圓上點的坐標(biāo)范圍求出相應(yīng)三角形的面積最值,即根據(jù)此范圍判斷點P是否存在,此題綜合性強(qiáng),涉及的知識多,考查了分析問題和解決問題的能力.

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甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙   92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);若將頻率視為概率,對甲學(xué)生在培訓(xùn)后參加的一次數(shù)學(xué)競賽成績進(jìn)行預(yù)測,求甲的成績高于80分的概率;
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度(在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中選兩中)考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請說明理由.

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C.向左平行移動$\frac{π}{2}$個單位D.向右平行移動$\frac{π}{2}$個單位

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