Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（1）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[1，3]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-2時，我們易得到函數(shù)的解析式，進而求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，列表討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）在[1，3]上是減函數(shù)，則g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，由此轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題，并轉(zhuǎn)化為a的不等式，解不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=-2時，f（x）=x²-2lnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

由上表可知，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
（2）由數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[1，3]上是減函數(shù)．
∴g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，
∴不等式2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$≤0在[1，3]上恒成立．
即a≤$\frac{2}{x}$-2x²，在[1，3]上恒成立，
令h（x）=$\frac{2}{x}$-2x²，
∴h′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-4x＜0，在[1，3]上恒成立，
∴h（x）在[1，3]為減函數(shù)，
∴h（x）_min=$\frac{2}{3}$-18=-$\frac{52}{3}$
∴a≤-$\frac{52}{3}$

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)原函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．