Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-5x+4lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域與函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)的符號求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用（1）的結(jié)果真假求解函數(shù)的極值即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）要使f（x）有意義，則x的取值范圍是（0，+∞）所以函數(shù)的定義域為（0，+∞）  （1分）
因為$f'（x）=x+\frac{4}{x}-5$．      （3分）
由f'（x）＞0得$x+\frac{4}{x}-5＞0$．
因為f'（x）=3x²+2ax，所以x=2，解得即f'（2）=0，或a=-3．    （6分）
由f（1）=1+a+b=0得b=2
因為f'（x）=3x²-6x=0，所以x₁=0，x₂=2，即x． （9分）
所以（-∞，0）的單調(diào)增區(qū)間為0；單調(diào)減區(qū)間為（0，2）．  （10分）
（2）由（1）知當x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值為$f（1）=-\frac{9}{2}$（11分）
當x=4時，函數(shù)f（x）取得極小值為f（4）=-12+4ln4（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性以及極值的求法，考查計算能力．