Question

12．已知$cos（{α-\frac{π}{6}}）+sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$，且$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，則$sin（{α+\frac{π}{3}}）$的值是（　�。�

• A． $\frac{{4\sqrt{3}-3}}{10}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}+3}}{10}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}-4}}{10}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}+4}}{10}$

Answer 1

分析 根據(jù)和與差的公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，構(gòu)造思想，可得答案．

解答 解：由$cos（{α-\frac{π}{6}}）+sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$，
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα+sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，即$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=$\frac{4}{5}$．
那么cos（$α-\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$＞0
$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴$α-\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
∴sin（$α-\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$
則$sin（{α+\frac{π}{3}}）$=sin（$α-\frac{π}{3}+\frac{2π}{3}$）=sin（$α-\frac{π}{3}$）cos$\frac{2π}{3}$+cos（$α-\frac{π}{3}$）sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$
故選A

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系式和與差的公式、誘導(dǎo)公式，構(gòu)造思想應(yīng)用，屬于基本知識的考查．