Question

2．若關(guān)于x的方程（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有且僅有6個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$，+∞）
• B． （e，+∞）
• C． （1，e）
• D． （1，$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$）

Answer 1

分析 令g（x）=|x-2|e^x，則方程有6解等價(jià)于g²（x）-2ag（x）+a=0有6解，判斷g（x）的單調(diào)性得出g（x）=t的根的分布情況，得出方程t²-2at+a=0的根的分布情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組解出a的范圍．

解答 解：∵（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|，
∴（x-2）²e^2x-2a|x-2|e^x+a=0，
令g（x）=|x-2|e^x=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）{e}^{x}，x≥2}\\{（2-x）{e}^{x}，x＜2}\end{array}\right.$，則g′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{（x-1）e}^{x}，x≥2}\\{（1-x）{e}^{x}，x＜2}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x≥2或x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極大值t（1）=e，
又x→-∞時(shí)，g（x）→0，g（2）=0，x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，
作出g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

令g（x）=t，
由圖象可知：當(dāng)0＜t＜e時(shí)，方程g（x）=t＜有3解；當(dāng)t=0或t＞e時(shí)，方程g（x）=t有1解；
當(dāng)t=e時(shí)，方程g（x）=t有2解；當(dāng)t＜0時(shí)，方程g（x）=t無(wú)解．
∵方程（x-2）²e^2x-2a|x-2|e^x+a=0有6解，
即g²（x）-2ag（x）+a=0有6解，
∴關(guān)于t的方程t²-2at+a=0在（0，e）上有2解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-4a＞0}\\{a＞0}\\{{e}^{2}-2ae+a＞0}\\{0＜a＜e}\end{array}\right.$，解得1＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．