Question

17．如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的兩條準(zhǔn)線間的距離為$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過點M（0，2）的直線l與橢圓相交于不同的兩點P，Q，點N在線段PQ上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|NQ|}$=λ，若直線l與y軸不重合，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題設(shè)條件求出b和a，由此可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ 2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），直線l與y軸不重合，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得一元二次方程，由韋達定理及再由$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|NQ|}$=λ，與y₁的關(guān)系即可求得λ的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由條件可得：$\frac{2{a}^{2}}{c}=\frac{8\sqrt{6}}{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：a=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，則b=$\sqrt{2}$，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
若直線l與y軸不重合，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
與橢圓方程聯(lián)立消去y，得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
根據(jù)韋達定理得，x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$，（*）
由$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|NQ|}$=λ，得$\frac{0-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=$\frac{0-{x}_{2}}{{x}_{0}-{x}_{2}}$，
整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），把上面的（*）式代入得x₀=-$\frac{1}{k}$，
又點N在直線y=kx+2上，所以y₀=k（-$\frac{1}{k}$）+2=1，于是由圖象知1＜y₁＜$\sqrt{2}$，
λ=$\frac{2-{y}_{1}}{{y}_{1}-1}$=$\frac{1}{{y}_{1}-1}$-1，由1＜y₁＜$\sqrt{2}$，得$\frac{1}{{y}_{1}-1}$＞$\sqrt{2}$+1，所以λ＞$\sqrt{2}$．
綜上所述，λ＞$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度大．