分析 (1)利用導(dǎo)數(shù)直接求單調(diào)區(qū)間;
(2)若要命題成立,只需當(dāng)x∈(0,2]時(shí),f(x)max<g(x)max.分別求出最大值即可.
解答 解:(1)f′(x)=ax-(2a+1)+$\frac{2}{x}$,…(2分)
所以a=$\frac{2}{3}$時(shí),f′(x)=$\frac{(2x-3)(x-2)}{3x}$,
其單調(diào)遞增區(qū)間為(0,$\frac{3}{2}$),(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為($\frac{3}{2},2))$. …(5分)
(2)若要命題成立,只需當(dāng)x∈(0,2]時(shí),f(x)max<g(x)max.
由g′(x)=(x2-2)ex可知,當(dāng)x∈(0,2]時(shí),g(x)在區(qū)間(0,$\sqrt{2}$)上單調(diào)遞減,在區(qū)間($\sqrt{2}$,2]上單調(diào)遞增,
g(0)=g(2)=0,故g(x)max=0,…(7分)
所以只需f(x)max<0.
對(duì)函數(shù)f(x)來說,f′(x)=ax-(2a+1)+$\frac{2}{x}$=$\frac{(ax-1)(x-2)}{x}$
當(dāng)a≤0時(shí),由x∈(0,2],f′(x)≥0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞增,
f(x)max=f(2)=2ln2-2a-2<0,故ln2-1<a≤0
當(dāng)0<a≤2時(shí),$\frac{1}{a}≥2$,由x∈(0,2),ax-1≥0,故f′(x)≥0,
函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增,
f(x)max=f(2)=2ln2-2a-2<0,a>ln2-1
故0<a≤2滿足題意
當(dāng)a>$\frac{1}{2}$時(shí),$0<\frac{1}{a}<2$,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,$\frac{1}{a}$)上單調(diào)遞增,在區(qū)間($\frac{1}{a},2)$上單調(diào)遞減,
f(x)max=f($\frac{1}{a})$=-2lna-$\frac{1}{2a}$-2.
若a≥1時(shí),顯然小于0,滿足題意;
若$\frac{1}{2}<a<1$時(shí),可令h(a)=-2lna-$\frac{1}{2a}$-2,$h′(a)=\frac{1-4a}{2{a}^{2}}$,
可知該函數(shù)在$\frac{1}{2}<a<1$時(shí)單調(diào)遞減,
$h(a)<h(\frac{1}{2})=2ln2-3<0$,滿足題意,所以a>$\frac{1}{2}$滿足題意.
綜上所述:實(shí)數(shù)a的取值范圍是(ln2-1,+∞) …(14分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及存在、任意的處理方法,屬于中檔題.
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A. | $\frac{80}{\begin{array}{l}3\end{array}}$ | B. | $\frac{40}{\begin{array}{l}3\end{array}}$ | C. | 80 | D. | 40 |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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