Question

9．已知在各項為正的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，log₂a_n+1+log₂a_n=n（n∈N^*），則a₁+a₂+…+a₂₀₁₆-3×2¹⁰⁰⁸=-3．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合題意算出a_n+1a_n=2ⁿ，從而證出{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，由此結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可算出所求式子的值．

解答 解：∵log₂a_n+1+log₂a_n=n
∴l(xiāng)og₂（a_n+1a_n）=n=log₂2ⁿ，可得a_n+1a_n=2ⁿ
由此可得a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2
∴a₁、a₃、…a₂₀₁₅和a₂、a₄、…、a₂₀₁₆分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列
則a₁+a₃+…+a₂₀₁₅=$\frac{1-{2}^{1008}}{1-2}$=2¹⁰⁰⁸-1；a₂+a₄+…+a₂₀₁₆=$\frac{2（1-{2}^{1008}）}{1-2}$=2¹⁰⁰⁹-2
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₆-3×2¹⁰⁰⁸
=（2¹⁰⁰⁸-1）+（2¹⁰⁰⁹-2）-3×2¹⁰⁰⁸=3•2¹⁰⁰⁸-3-3×2¹⁰⁰⁸=-3
故答案為：-3

點評 本題給出各項為正的數(shù)列{a_n}滿足的等式，求它的前2016項之和．著重考查了等比數(shù)列的通項與求和公式、對數(shù)的運算性質(zhì)和數(shù)列遞推式的理解等知識，屬于中檔題．