分析 (1)由雙曲線的漸近線方程設(shè)出雙曲線的方程是,把已知點代入雙曲線的方程可得k值,則雙曲線的標準方程可求;
(2)由雙曲線的離心率e=2,得到a與b的關(guān)系,分類設(shè)出雙曲線方程,代入點的坐標求解.
解答 解:(1)∵雙曲線的近線為y=$\sqrt{2}$x,
∴設(shè)雙曲線方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=k$,
∵點M($\sqrt{6},\sqrt{6}$)在雙曲線上,
∴$6-\frac{6}{2}=k$,得k=3.
∴雙曲線的標準方程為$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$;
(2)∵$e=\frac{c}{a}=2⇒c=2a$,又∵c2=a2+b2,∴$b=\sqrt{3}a$.
①當雙曲線的焦點在x軸上時,設(shè)雙曲線標準方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}=1$,
∵點M($\sqrt{6},\sqrt{6}$)在雙曲線上,∴$\frac{6}{a^2}-\frac{6}{{3{a^2}}}=1$,
解得a2=4,b2=12,
則所求雙曲線標準方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$.
②當雙曲線的焦點在y軸上時,設(shè)雙曲線標準方程為$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{{3{a^2}}}=1$,
∵點M($\sqrt{6},\sqrt{6}$)在雙曲線上,∴$\frac{6}{a^2}-\frac{6}{{3{a^2}}}=1$,
解得a2=4,b2=12,
則所求雙曲線標準方程為 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{12}=1$.
故所求雙曲線方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$或 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{12}=1$.
點評 本題考查了雙曲線的標準方程,注意給出漸近線方程的雙曲線方程的設(shè)法,考查分類討論的數(shù)學思想方法,是中檔題.
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 4:1:1 | B. | 2:1:1 | C. | 3:1:1 | D. | $\sqrt{3}$:1:1 |
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A. | x+y=0 | B. | x-y+2=0 | C. | x+y-5=0 | D. | x-y=0 |
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