Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax，其中a＞0，證明：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析 當(dāng)a≥1時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即：在區(qū)間[0，+∞）上任取x₁，x₂，使得x₁＜x₂，證明f（x₁）-f（x₂）＞0，從而證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

解答 證明：在區(qū)間[0，+∞）上任取x₁，x₂，
使得x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}$-a（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$-a），
∵$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$＜1，且a≥1，
∴$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$-a＜0，
又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算、推理能力．