Question

已知cosx+siny=

1

3

，x，y∈R．
（1）若cosx•siny＞0，求

2siny+cosx

cosxsiny

的最小值；
（2）設(shè)t=sin²x-siny，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）原式整理后，利用基本不等式求出最小值即可；
（2）將已知等式變形表示出siny，t中第一項(xiàng)利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系變形，將siny代入，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出范圍即可．

解答： 解：（1）

2siny+cosx

cosxsiny

=

2

cosx

+

1

siny

=3×

1

3

（cosx+siny）（

2

cosx

+

1

siny

）=3（3+

2siny

cosx

+

cosx

siny

）≥3（3+2

2

），
當(dāng)且僅當(dāng)siny=

2 -1

3

，cosx=

2- 2

3

時(shí)等號(hào)成立；
（2）由cosx+siny=

1

3

，得siny=

1

3

-cosx，
由-1≤cosx≤1，-1≤siny≤1，得-

2

3

≤cosx≤1，
可得t=sin²x-siny=1-cos²x-

1

3

+cosx=-（cosx-

1

2

）²+

11

12

，
當(dāng)cosx=-

2

3

時(shí)，tmin=-

4

9

；當(dāng)cosx=

1

2

時(shí)，t_max=

11

12

，
則t的取值范圍是[-

4

9

，

11

12

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．