Question

2．△ABC是邊長為2的正三角形，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，給出下列四個結(jié)論．
①|(zhì)$\overrightarrow$|=1，②$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-1③$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$④（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{BC}$
其中正確結(jié)論的序號是②④．

Answer 1

分析 先畫出圖形，由條件即可得出$\overrightarrow=\overrightarrow{BC}$，從而判斷出①錯誤，求得$\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，然后可求得$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{BC}=0$，這樣即可判斷④正確．

解答 解：如圖，
根據(jù)條件：
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$；
∴$|\overrightarrow|=|\overrightarrow{BC}|=2$，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}×2×2×（-\frac{1}{2}）=-1$；
∵$4\overrightarrow{a}+\overrightarrow=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$；
∴$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{BC}=（2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）•\overrightarrow{BC}$=$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}=-4+4=0$；
∴$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow）⊥\overrightarrow{BC}$；
∴正確的序號為：②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評 考查向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算及計算公式，以及向量垂直的充要條件．