Question

4．設(shè)奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[-7，-3]上是減函數(shù)且最小值為-6，函數(shù)g（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$，其中a＜$\frac{1}{2}$．
（1）判斷函數(shù)g（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)性，并用定義法證明；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[3，7]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）分別求出f（x）和g（x）的最大值，求出F（x）的最大值即可．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）在（-2，+∞）上是減函數(shù)，
證明如下：
設(shè)-2＜x₁＜x₂，
∵g（x）=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，
∴g（x₂）-g（x₁）
=（a+$\frac{1-2a}{{x}_{2}+2}$ ）-（a+$\frac{1-2a}{{x}_{1}+2}$）
=（1-2a）•$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{（x}_{2}+2）{（x}_{1}+2）}$，
∵-2＜x₁＜x₂，
∴$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{（x}_{2}+2）{（x}_{1}+2）}$＜0，
∵a＜$\frac{1}{2}$，∴g（x₂）＜g（x₁），
∴a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）在（-2，+∞）遞減；
f（x）_min=f（-3）=-6，且f（x）是奇函數(shù)，
∴f（3）=6，即f（x）在區(qū)間[3，7]上的最大值是6，
由（1）得：g（x）在[3，7]上也是減函數(shù)，
∴F（x）_max=f（3）+g（3）=6+$\frac{3a+1}{3+2}$=$\frac{3a+31}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．