Question

8．已知函數(shù)$f（x）=2sin（{ωx+φ}）+1（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}），f（α）=-1，f（β）=1$，若|α-β|的最小值為$\frac{3π}{4}$，且f（x）的圖象關于點$（{\frac{π}{4}，1}）$對稱，則函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（　　）

• A． $[{-\frac{π}{2}+2kπ，π+2kπ}]，k∈Z$
• B． $[{-\frac{π}{2}+3kπ，π+3kπ}]，k∈Z$
• C． $[{π+2kπ，\frac{5π}{2}+2kπ}]，k∈Z$
• D． $[{π+3kπ，\frac{5π}{2}+3kπ}]，k∈Z$

Answer 1

分析 由題意，f（α）=-1，f（β）=1，|α-β|的最小值為$\frac{3π}{4}$，可得周期T=4|α-β|=3π，可求出ω，圖象關于點$（{\frac{π}{4}，1}）$對稱，帶入求解φ．可得f（x）的解析式．將內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間．

解答 解：由題意，函數(shù)$f（x）=2sin（{ωx+φ}）+1（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}），f（α）=-1，f（β）=1$，
α-β|的最小值為$\frac{3π}{4}$，
∴周期T=4|α-β|=3π，
ω=$\frac{2π}{T}$，即ω=$\frac{2}{3}$
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}x$+φ）+1
又∵圖象關于點$（{\frac{π}{4}，1}）$對稱，
帶入可得：sin（$\frac{2}{3}×\frac{π}{4}+$φ）=0，即$\frac{π}{6}+$φ=kπ，k∈Z．
∵|φ|$＜\frac{π}{2}$
∴φ=$-\frac{π}{6}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}x$-$\frac{π}{6}$）+1
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$\frac{2}{3}x$-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$．
得：$-\frac{π}{2}+3kπ≤x≤π+3kπ$，k∈Z．
故選：B．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的計算能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，求解出三角函數(shù)解析式是解決本題的關鍵．屬于基礎題．