12.若y=f(x)是定義在R上周期為2的周期函數(shù),且f(x)是偶函數(shù),當x∈[0,1]時,f(x)=2x-1,則函數(shù)g(x)=f(x)-log3(x+1)的零點個數(shù)為3.

分析 由題意可知,函數(shù)f(x)的圖象,而要求的是函數(shù)g(x)=f(x)-log3(x+1)的零點個數(shù),則問題即是求函數(shù)f(x)與y=log3(x+1)的圖象的交點個數(shù).

解答 解:由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x∈[0,1]時,f(x)=2x-1,
則當x∈[-1,0]時,f(x)=2-x-1,
又由函數(shù)的周期為2,故可得函數(shù)圖象,如圖示:

在同一坐標系中,做出函數(shù)y=log3(x+1)的圖象.
由圖知,函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=log3(x+1)的圖象有三個交點
故函數(shù)g(x)=f(x)-log3(x+1)的零點個數(shù)為3.
故答案為 3.

點評 本題考查函數(shù)的零點問題,屬于基礎(chǔ)題,此類題目常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

11.德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領(lǐng)域成就顯著,以其名命名的函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}1,x為有理數(shù)\\ 0,x為無理數(shù)\end{array}$,稱為狄利克雷函數(shù),則關(guān)于函數(shù)f(x)有以下四個命題:
①f(f(x))=1;
②函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
③任意一個非零有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對任意x∈R恒成立;
④存在三個點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC為等邊三角形.
其中真命題的個數(shù)是( 。
A.4B.3C.2D.1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

3.在△ABC中,a=$\sqrt{3}$b,A=120°,則B的大小為( 。
A.30°B.45°C.60°D.90°

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20.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1,(a>b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左,右焦點,如圖過F2且斜率為1的直線與橢圓相交于P,Q兩點,且$\frac{{|P{F_2}|}}{{|Q{F_2}|}}$=2,則橢圓的離心率e=( 。
A.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,前n項和${S_n}={({\frac{{{a_n}+1}}{2}})^2}$.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$<k恒成立,求k的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù)m,k,使得am,am+5,ak成等比數(shù)列?若存在,求出m和k的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

17.設(shè)圓C:x2+y2-2(t+3)x-2ty+t2+4t+8=0(t≠-1).
(1)當t變化時,圓心C是否在同一直線上?若在同一直線上,請寫出該直線方程;若不在,請說明理由;
(2)設(shè)直線l:x+y-3=0與圓C交于A,B,求弦AB的最大值;
(3)當t變化時,可得一系列圓,是否存在直線m與這些圓都相切?若存在,求出直線m的方程,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.如圖,池塘的邊緣為曲線段OMB,它可以近似看成是函數(shù)f(x)=x2在0≤x≤6的圖象,BA垂直于x軸于點A,現(xiàn)要建一個以A為直角的觀光站臺△APQ,其中斜邊PQ與曲線段OMB相切于點M(t,t2),切線PQ交x軸于點P,交線段AB于點Q,圖中的陰影部分種植草坪.
(1)將△QAP的面積表達為t的函數(shù);
(2)求草坪的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠BAC=90°,F(xiàn)為棱AA1上的動點,A1A=4,AB=AC=2.
(1)當F為A1A的中點,求直線BC與平面BFC1所成角的余弦值;
(2)當$\frac{AF}{{F{A_1}}}$的值為多少時,二面角B-FC1-C的大小是45°.

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2.已知F1、F2是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左右焦點,P是橢圓上一點,且PF2⊥F1F2,∠PF1F2=$\frac{π}{6}$.則橢圓的離心率是( 。
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

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