Question

5．設(shè)三個(gè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}，{b_n}，{c_n}．記數(shù)列{b_n}，{c_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n，若對(duì)任意的n∈N^*，都有a_n=b_n+c_n，且S_n＞T_n，則稱數(shù)列{a_n}為可拆分?jǐn)?shù)列．
（1）若${a_n}={4^n}$，且數(shù)列{b_n}，{c_n}均是公比不為1的等比數(shù)列，求證：數(shù)列{a_n}為可拆分?jǐn)?shù)列；
（2）若a_n=5n，且數(shù)列{b_n}，{c_n}均是公差不為0的等差數(shù)列，求所有滿足條件的數(shù)列{b_n}，{c_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{a_n}，{b_n}，{c_n}均是公比不為1的等比數(shù)列，且a₁≥3，求證：數(shù)列{a_n}為可拆分?jǐn)?shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得S_n=$\frac{3（1-{4}^{n}）}{1-4}$=4ⁿ-1，T_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-3}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，則a_n=b_n+c_n，且S_n＞T_n，即可證明數(shù)列{a_n}為可拆分?jǐn)?shù)列；
（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)成$\left\{\begin{array}{l}{qw9v9eh_{1}+4nqbt4q_{2}=5}\\{_{1}+{c}_{1}=5}\end{array}\right.$，由S_n＞T_n，利用等差數(shù)前n項(xiàng)和公式即可求得d₁≥d₂且b₁＞c₁，且d₁＞d₂，即可求得d₁，d₂，及c₁，b₁求得數(shù)列{b_n}，{c_n}的通項(xiàng)公式；
（3）q為無理數(shù)時(shí)，a₂=a₁q為無理數(shù)，與a_n∈N⁺，矛盾，q為有理數(shù)，可得，q=$\frac{a}$=b∈N^*，則q∈N⁺，q≥2，a_n=a₁q^n-1=（a₁-1）q^n-1+q^n-1，令b_n=（a₁-1）q^n-1，c_n=q^n-1，且S_n＞T_n，數(shù)列{a_n}為可拆分?jǐn)?shù)列．

解答 解：（1）證明：由${a_n}={4^n}$=4×4^n-1=3×4^n-1+3×4^n-1，b_n=3×4^n-1，c_n=3×4^n-1，
則S_n=$\frac{3（1-{4}^{n}）}{1-4}$=4ⁿ-1，T_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-3}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
∴對(duì)任意的n∈N^*，都有a_n=b_n+c_n，且S_n＞T_n，
∴數(shù)列{a_n}為可拆分?jǐn)?shù)列； …（3分）
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}，{c_n}的公差分別為d₁，d₂，
由a_n=5n，得b₁+（n-1）d₁+c₁+（n-1）d₂=（d₁+d₂）n+b₁+c₁-d₁-d₂=5n，對(duì)任意的n∈N^*都成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{9uhvrvj_{1}+szg49az_{2}=5}\\{_{1}+{c}_{1}-dncy4g4_{1}-jp3u04h_{2}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0wz9akr_{1}+kfqb49s_{2}=5}\\{_{1}+{c}_{1}=5}\end{array}\right.$①…（5分）
由S_n＞T_n，得nb₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d₁＞nc₂+$\frac{n（n-1）}{2}$d₂，則（$\frac{d904ti3_{1}}{2}$-$\frac{g459c4z_{2}}{2}$）n²+（b₁-c₁-$\frac{pbqzub0_{1}}{2}$+$\frac{jz9w5fy_{2}}{2}$）n＞0，
由n＞0，得（$\frac{j4tit9m_{1}}{2}$-$\frac{pd9jba0_{2}}{2}$）n+（b₁-c₁-$\frac{ypc99a4_{1}}{2}$+$\frac{md9f5vp_{2}}{2}$）＞0，對(duì)任意的n∈N^*成立．
則$\frac{voim3f9_{1}}{2}$-$\frac{rxdxjog_{2}}{2}$≥0且（$\frac{4oo4ofn_{1}}{2}$-$\frac{lyia9j4_{2}}{2}$）n+（b₁-c₁-$\frac{cwd4m9y_{1}}{2}$+$\frac{kj4txvr_{2}}{2}$）＞0，即d₁≥d₂且b₁＞c₁②
由數(shù)列數(shù)列{b_n}，{c_n}各項(xiàng)均為正整數(shù)，則b₁，c₁，d₁，d₂均為正整數(shù)
當(dāng)d₁=d₂時(shí)，由d₁+d₂=5，得d₁=d₂=$\frac{5}{2}$∉N^*不符；
∴d₁＞d₂③…（7分）
由①②③，得$\left\{\begin{array}{l}{fl9mbmx_{1}=4}&{x909anj_{2}=1}\\{_{1}=4}&{{c}_{1}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{pgkmf9u_{1}=4}&{wg9a09x_{2}=1}\\{_{1}=3}&{{c}_{1}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{dr9b09s_{1}=3}&{w499y9z_{2}=2}\\{_{1}=4}&{{c}_{1}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{kkc4s09_{1}=3}&{b90efdn_{2}=2}\\{_{1}=3}&{{c}_{1}=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{n}=4n}\\{{c}_{n}=n}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{_{n}=4n-1}\\{{c}_{n}=n+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{_{n}=3n+1}\\{{c}_{n}=2n-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{_{n}=3n}\\{{c}_{n}=2n}\end{array}\right.$；．…（9分）
（3）證明：設(shè)a_n=a₁q^n-1，a₁∈N⁺，q＞0，q≠1，下面證明：q∈N⁺，q≥2，
當(dāng)q為無理數(shù)時(shí)，a₂=a₁q為無理數(shù)，與a_n∈N⁺，矛盾．
故q為有理數(shù)，設(shè)q=$\frac{a}$（a，b為正整數(shù)，且a，b互素）．…（11分）
此時(shí)a_n=a₁•$\frac{^{n-1}}{{a}^{n-1}}$．則對(duì)任意的n∈N^*，a^n-1均為a₁的約數(shù)，則a^n-1=1，即a=1，
故q=$\frac{a}$=b∈N^*，則q∈N⁺，q≥2，…（14分）
∴a_n=a₁q^n-1=（a₁-1）q^n-1+q^n-1，令b_n=（a₁-1）q^n-1，c_n=q^n-1，
則{b_n}，{c_n}各項(xiàng)均為正整數(shù)．
由a₁≥3，則a₁-≥2＞1則S_n＞T_n，
所以，數(shù)列{a_n}為可拆分?jǐn)?shù)列．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題為新定義題，考查閱讀理解能力；考查一般與特殊思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想；考查運(yùn)算能力；考查分析探究推理能力，屬于難題．