已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判斷的單調(diào)性并證明；
（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．

（Ⅰ）；（Ⅱ）在R上為減函數(shù),證明詳見解析；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）思路一、由可求得a的值；
思路二、由于是R上的奇函數(shù)，所以，由此也可求得a的值.
（Ⅱ）思路一：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明；思路二：利用導(dǎo)數(shù)證明.
（Ⅲ）因是奇函數(shù)，從而不等式等價于

在R上為減函數(shù)，由上式得：解此不等式即可.
試題解析：（I）法一、函數(shù)的定義域為R，因為是奇函數(shù)，所以，
即，故．
法二、由是R上的奇函數(shù)，所以，故．
再由，
通過驗證來確定的合理性             4分
（Ⅱ）由（1）知
由上式易知在R上為減函數(shù).
證明：法一、由（1）知
設(shè)，則，
所以，所以在R上為減函數(shù).              8分
法二、由（1）知
求導(dǎo)得：，所以在R上為減函數(shù).          8分
（Ⅲ）又因是奇函數(shù)，從而不等式等價于

在R上為減函數(shù)，由上式得：
即對一切
從而              12分
考點：1、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性；2、不等關(guān)系.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，且。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)（）．
（1）討論的奇偶性；
（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知m為常數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù).
（1）求m的值；
（2）若，試判斷的單調(diào)性（不需證明）；
（3）若，存在，使，求實數(shù)k的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)．
（1）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍．

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是定義在上的減函數(shù)，滿足.
（1）求證：；
（2）若，解不等式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，有恒成立.
（1）判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（2）若對所有恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，試判斷此函數(shù)在上的單調(diào)性，并求此函數(shù)
在上的最大值和最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
(Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ）當時，在曲線上是否存在兩點，使得曲線在兩點處的切線均與直線交于同一點？若存在，求出交點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由；
(Ⅲ）若在區(qū)間存在最大值，試構(gòu)造一個函數(shù)，使得同時滿足以下三個條件：①定義域，且；②當時，；③在中使取得最大值時的值，從小到大組成等差數(shù)列．（只要寫出函數(shù)即可）

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