Question

11．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短軸長(zhǎng)為2．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若圓O：x²+y²=1的切線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求|OM|的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)條件列方程組解出a，b即可得出橢圓的方程；
（II）設(shè)直線l方程為x=my+t，聯(lián)立方程組消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出M的坐標(biāo)，根據(jù)距離公式求出|OM|的最值．

解答 解：（ I）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=2}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（ II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
若直線l的斜率為0，則l方程為y=±1，此時(shí)直線l與橢圓只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；
設(shè)直線l：x=my+t．
∵l與圓O相切，∴$\frac{{|{-t}|}}{{\sqrt{1+{m^2}}}}=1$，即t²=m²+1；
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}=4\\ x=my+t\end{array}\right.$，消去x，得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0，
則△=4m²t²-4（t²-4）（m²+4）=16（m²-t²+4）=48＞0，
∴${y_1}+{y_2}=-\frac{2mt}{{{m^2}+4}}$，∴${y_0}=-\frac{mt}{{{m^2}+4}}$，${x_0}=m{y_0}+t=\frac{4t}{{{m^2}+4}}$，即$M（\frac{4t}{{{m^2}+4}}，-\frac{mt}{{{m^2}+4}}）$，
∴${|{OM}|^2}={（\frac{4t}{{{m^2}+4}}）^2}+{（\frac{mt}{{{m^2}+4}}）^2}=\frac{{{t^2}（{m^2}+16）}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}=\frac{{（{m^2}+1）（{m^2}+16）}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}$，
設(shè)x=m²+4，則x≥4，${|{OM}|^2}=\frac{（x-3）（x+12）}{x^2}=-\frac{36}{x^2}+\frac{9}{x}+1=-36{（\frac{1}{x}-\frac{1}{8}）^2}+\frac{25}{16}≤\frac{25}{16}$，
∴當(dāng)x=8時(shí)等號(hào)成立，|OM|取得最大值$\sqrt{\frac{25}{16}}$=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，注意根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題，