Question

2．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AA₁=3，點P在棱CC₁上，則三棱錐P-ABA₁的體積為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 點P到平面ABA₁的距離即為△ABC的高，由此能求出三棱錐P-ABA₁的體積．

解答 解：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=3，點P在棱CC₁上，
∴點P到平面ABA₁的距離即為△ABC的高，即為h=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
${S}_{△AB{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}×3×3$=$\frac{9}{2}$，
三棱錐P-ABA₁的體積為：V=$\frac{1}{3}×{S}_{△AB{A}_{1}}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．