Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^3ax（a∈R）的圖象C在點(diǎn)P（1，f（1））處切線的斜率為e，記奇函數(shù)g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的圖象為l．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，圖象C恒在l的上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出b的值即可；
（2）根據(jù)?x∈（-2，2），e^x＞kx恒成立，得到關(guān)于k的不等式，記h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x∈（-2，0）∪（0，2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=3ae^3ax，∴f′（1）=3ae^3a=e，∴a=$\frac{1}{3}$，
∵g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）為奇函數(shù)，∴b=0．
（2）由（1）知f（x）=e^x，g（x）=kx．
∵當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，圖象C恒在l的上方，∴?x∈（-2，2），e^x＞kx恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，e⁰=1＞0×k顯然可以，
記h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x∈（-2，0）∪（0，2），則h′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}{e}^{x}$，由h'（x）＞0⇒x∈（1，2），
∴h（x）在（-2，0）上單調(diào)減，在（0，1]上單調(diào)減，在[1，2）上單調(diào)增，
∵$\left\{\begin{array}{l}{k＜\frac{{e}^{x}}{x}，x∈（0，2）}\\{k＞\frac{{e}^{x}}{x}，x∈（-2，0）}\end{array}\right.$，x=-2，$\frac{{e}^{x}}{x}$=-$\frac{1}{2{e}^{2}}$，
∴k∈[-$\frac{1}{2{e}^{2}}$，e），
∵k≠0，∴所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-$\frac{1}{2{e}^{2}}$，0）∪（0，e）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想、換元思想，是一道綜合題．