18.已知函數(shù)f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|.
(Ⅰ)若關(guān)于x的方程|f(x)|=g(x)只有一個實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若當(dāng)x∈R時,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若a<0,求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在[-2,2]上的最大值.

分析 (Ⅰ)若關(guān)于x的方程|f(x)|=g(x)只有一個實數(shù)解?方程|f(x)|=g(x)只有一個實數(shù)解,從而可求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若當(dāng)x∈R時,不等式f(x)≥g(x)恒成立,即x2-1≥a|x-1|恒成立,分x=1、x>1與x<1三類討論,即可求得實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若a<0,函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1,1≤x≤2}\\{{x}^{2}-ax+a-1,-2≤x<1}\end{array}\right.$,通過對函數(shù)的對稱軸位置的討論,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得其在[-2,2]上的最大值.

解答 (12分)
解:(Ⅰ)∵f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|,方程|f(x)|=g(x)只有一個實數(shù)解,
∴|x2-1|=a|x-1|,∴|x-1|(|x+1|-a)=0只有一個實數(shù)解,∴a<0…3分
(Ⅱ)當(dāng)x∈R時,不等式f(x)≥g(x)恒成立,即x2-1≥a|x-1|恒成立,
①當(dāng)x=1時,a∈R;
②當(dāng)x>1時,x+1≥a恒成立,∴a≤2;
③當(dāng)x<1時,x2-1≥-a(x-1),∴x+1≤-a,∴-a≥2,∴a≤-2,
綜上可得a≤-2…7分
(Ⅲ)若a<0,函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1,1≤x≤2}\\{{x}^{2}-ax+a-1,-2≤x<1}\end{array}\right.$,
當(dāng)-$\frac{1}{2}$a≥$\frac{3}{2}$,即a≤-3時,$\frac{a}{2}$≤-$\frac{3}{2}$,h(x)max=h(1)=0;
當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{a}{2}$<$\frac{3}{2}$,即-3<a≤-1時,h(x)max=h(2)=3+a;
當(dāng)0<-$\frac{a}{2}$<<$\frac{1}{2}$,即-1<a<0時,h(2)=3+a,h(-2)=3+3a<3+a=h(2),
h(x)max=h(2)=3+a…10分
綜上所述,h(x)max=$\left\{\begin{array}{l}{0,a≤-3}\\{3+a,-3<a<0}\end{array}\right.$…12分

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題,突出考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想,考查推理運(yùn)算能力,屬于難題.

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X24568
y2535605575
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具有“宅”屬性不具有“宅”屬性總計
男生205070
女生104050
總計3090120
(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“是否具有‘宅’屬性與性別有關(guān)?”
(2)采用分層抽樣的方法從具有“宅”屬性的學(xué)生里抽取一個6人的樣本,其中男生和女生各多少人?從6人中隨機(jī)選取3人做進(jìn)一步的調(diào)查,求選取的3人至少有1名女生的概率.
參考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k00.100.050.0250.0100.0050.001
k02.7063.8415.0245.6357.87910.828

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