11.某公司有A、B、C、D、E五輛汽車,其中A、B兩輛汽車的車牌尾號均為1,C、D兩輛汽車的車牌尾號均為2,E車的車牌尾號為6.已知在非限行日,每輛車可能出車或不出車,A、B、E三輛汽車每天出車的概率均為$\frac{2}{3}$,C、D兩輛汽車每天出車的概率均為$\frac{1}{2}$,五輛汽車是否出車相互獨立,該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下:
工作日星期一星期二星期三星期四星期五
限行車牌尾號0和51和62和73和84和9
例如,星期一禁止車牌尾號為0和5的車輛通行.
(1)求該公司在星期一至少有2輛汽車出車的概率;
(2)設X表示該公司在星期二和星期三兩天出車的車輛數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學期望.

分析 (1)記事件A“該公司在星期一至少有2輛車出車”,利用獨立重復試驗的概率乘法公式,求解即可;
(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,5,求出對應的概率,寫出分布列,計算數(shù)學期望值.

解答 解:(1)記事件A“該公司在星期一至少有2輛車出車”,
則P(A)=1-${(\frac{1}{2})}^{3}$•${(\frac{1}{3})}^{2}$-${C}_{3}^{1}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$•${(\frac{1}{3})}^{2}$-${C}_{2}^{1}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$
=1-$\frac{1}{72}$-$\frac{3}{72}$-$\frac{4}{72}$
=$\frac{8}{9}$;
(2)根據(jù)題意,X的可能取值為0,1,2,3,4,5;
則P(X=0)=${(\frac{1}{3})}^{2}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$=$\frac{1}{72}$,
P(X=1)=${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$+${(\frac{1}{3})}^{2}$•${C}_{3}^{1}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$=$\frac{7}{72}$,
P(X=2)=${(\frac{2}{3})}^{2}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${C}_{3}^{1}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$+${(\frac{1}{3})}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$=$\frac{19}{72}$,
P(X=3)=${(\frac{2}{3})}^{2}$•${C}_{3}^{1}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${C}_{3}^{2}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$+${(\frac{1}{3})}^{2}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$=$\frac{25}{72}$,
P(X=4)=${(\frac{2}{3})}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$=$\frac{16}{72}$,
P(X=5)=${(\frac{2}{3})}^{2}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$=$\frac{4}{72}$;
∴隨機變量X的分布列為:

X012345
P$\frac{1}{72}$$\frac{7}{72}$$\frac{19}{72}$$\frac{25}{72}$$\frac{16}{72}$$\frac{4}{72}$
數(shù)學期望為E(X)=0×$\frac{1}{72}$+1×$\frac{7}{72}$+2×$\frac{19}{72}$+3×$\frac{25}{72}$+4×$\frac{16}{72}$+5×$\frac{4}{72}$=$\frac{17}{6}$.

點評 本題考查了獨立重復試驗的概率求法問題,也考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題,是中檔題.

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