Question

【題目】已知四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且，⊥平面，，設(shè)為的中點．

（1）求證：⊥平面；

（2）點在線段上，且平面，求平面和平面所成銳角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由側(cè)棱可知，該棱柱為直四棱柱，所以且交線為，又底面為菱形且，所以為等比三角形，由于為中點，所以，所以，所以，又根據(jù)側(cè)面為矩形，且，，所以為等腰直角三角形，即，又因為，所以；（2）取中點，連接，由為等比三角形易知，則，以所在直線分別為軸建立如圖的空間直角坐標系，根據(jù)第（1）問可知，為平面的法向量，由于平面，所以，于是可以求出點的坐標，然后求出平面的法向量，將平面與平面所成角的余弦轉(zhuǎn)化成兩個法向量成角余弦值，即可求解.

試題解析：（1）證明：由已知該四棱柱為直四棱柱，且△為等邊三角形，⊥，

所以⊥平面，故⊥．

因為△的三邊長分別為，，故△為等腰直角三角形，

所以⊥，結(jié)合⊥知：⊥平面．

（2）解：取中點，則由△為等邊三角形知⊥，從而⊥．

以，，為坐標軸，建立如圖所示的坐標系，此時，，，，，．設(shè)，

由上面的討論知平面的法向量為，

由于平面，故平面，所以，故，

故，所以，故，

設(shè)平面的法向量為，，，

由知取，，，故．

設(shè)平面和平面所成銳角為，則，

即平面和平面所成銳角的余弦值為．