Question

如右圖所示，某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y=Asinwx（A＞0，w＞0），x∈[0，4]的圖象，且圖象的最高點為S（3，2

3

），賽道的后一部分為折線段MNP，為保證賽道運動會的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求A，w的值和M，P兩點間的距離；
（2）如何設計，才能使這線段賽道MNP最長？

Answer 1

考點：在實際問題中建立三角函數模型

專題：應用題

分析：（1）由最高點S的坐標，周期公式，兩點間距離公式，可求A，w的值和M，P兩點間的距離；
（2）在△MNP中設∠PMN=θ，由正弦定理可得NP+MN=

10 3

3

sin（θ+60°），由0°＜θ＜60°可知當θ=30°時，折線段MNP最長．

解答： 解：（1）依題意，有A=2

3

，

T

4

=3，又T=

2π

ω

，∴ω=

π

6

，∴y=2

3

sin

π

6

x，
當x=4時，y=2

3

sin

2π

3

=3．∴M（4，3），又P（8，0），
∴MP=

42+32

=5．
（2）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，設∠PMN=θ，則0°＜θ＜60°，
由正弦定理得

MP

sin120°

=

NP

sinθ

=

MN

sin(60°-θ)

，
∴NP=

10 3

3

sinθ，MN=

10 3

3

sin（60°-θ）
故NP+MN=

10 3

3

sinθ+

10 3

3

sin（60°-θ）=

10 3

3

（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）=

10 3

3

sin（θ+60°）
∵0°＜θ＜60°
∴當θ=30°時，折線段MNP最長，亦即，將∠PMN設計為30°時，折線段MNP最長．

點評：本題主要考察了在實際問題中建立三角函數模型，余弦定理的應用，屬于中檔題．