7.已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,定義域為R,函數(shù)g(x)=2x+1-22x,定義域為[-1,1].
(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明;
(Ⅱ)若不等式f[g(x)]+f(-m2+2m+2)≤0對于一切x∈[-1,1]恒成立,求m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由定義域為R,f(-x)=2-x-2x=-f(x),可判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,可判斷出f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,再由不等式f[g(x)]+f(-m2+2m+2)≤0對于一切x∈[-1,1]恒成立等價轉(zhuǎn)化為g(x)≤m2-2m-2對一切x∈[-1,1]恒成立,從而可求m的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)定義域為R且f(-x)=2-x-2x=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù)…(4分)
(Ⅱ)在(-∞,+∞)上任取兩個不等的實數(shù)x1,x2,不妨設(shè)x1<x2,則
$\left.\begin{array}{l}{f({x}_{2})-f({x}_{1})=({2}^{{x}_{2}}-{2}^{-{x}_{2}})}\end{array}\right.$-$\left.\begin{array}{l}{({2}^{{x}_{1}}-{2}^{-{x}_{1}})=({2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}})+[{(\frac{1}{2})}^{{x}_{1}}-{(\frac{1}{2})}^{{x}_{2}}]}\end{array}\right.$
$\left.\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{\;}\\{=({2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}})(1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}})}\end{array}\right.}\end{array}\right.$,
由于x1<x2,所以${2^{x_2}}-{2^{x_1}}>0,1+\frac{1}{{{2^{x_1}}{2^{x_2}}}}>0$,即f(x2)>f(x1),
函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增…(6分)
由f(g(x))+f(-m2+2m+2)≤0,
得f(g(x))≤-f(-m2+2m+2),
即f(g(x))≤f(m2-2m-2),
又因為函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≤m2-2m-2對一切x∈[-1,1]恒成立,
即(g(x))max≤m2-2m-2,….(8分)
g(x)=2x+1-22x=-(2x-1)2+1,
∵-1≤x≤1,∴$\frac{1}{2}$≤2x≤2,
故g(x)=-(2x-1)2+1≤1…(10分)
即g(x)max=1,所以m2-2m-2≥1,所以m≥3或m≤-1…(12分)

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題,考查函數(shù)單調(diào)性的判定與指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,突出考查函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用,考查邏輯思維與運算能力,屬于難題.

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