Question

19．已知圓方程為x²+y²-2ax-4ay+4a²+t=0（a≠0）．
（1）若t=$\frac{1}{2}$a²，確定無論a為何值均與圓相切的直線的方程；
（2）若t=a²-4，確定無論a為何值被圓截得的弦長為1的直線的方程．

Answer 1

分析 （1）將圓的方程化為標準方程，設直線l：y=kx，利用直線l與動圓C總相切，建立方程，即可得出結(jié)論．
（2）根據(jù)題意可得圓的標準方程為（x-a）²+（y-2a）²=4，即可得到半徑與圓心坐標，進而得到圓心所在的直線方程．根據(jù)題意可得：所求直線必須平行于直線y=2x，所以設所求直線的方程為y=2x+b，再根據(jù)半弦長、半徑與弦心距的關系，可得圓心到直線的距離，進而結(jié)合點到直線的距離公式計算出b的數(shù)值，得到答案．

解答 解：（1）若t=$\frac{1}{2}$a²，x²+y²-2ax-4ay+$\frac{9}{2}$a²=0，標準方程為（x-a）²+（y-2a）²=$\frac{1}{2}$a²，
即有圓心為（a，2a），半徑為|$\frac{\sqrt{2}}{2}$a|，（a≠0），
不論a取何值，上述圓的圓心在同一條直線y=2x上．又半徑均為|$\frac{\sqrt{2}}{2}$a|，
由題意設直線l：y=kx，則$\frac{|ka-2a|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=|$\frac{\sqrt{2}}{2}$a|，
∴k=1或7，
∴存在定直線l：y=x或y=7x，它與動圓C總相切；
（2）根據(jù)題意可得圓的方程為（x-a）²+（y-2a）²=4，
所以半徑為2，圓心坐標為（a，2a），
所以圓心坐標滿足的直線方程為y=2x．
因為圓心在直線y=2x上，并且對任意a∈R，直線l被圓截得的弦長均為1，
所以所求直線必須平行于直線y=2x，
所以設所求直線的方程為y=2x+b，
因為該直線被圓截得的弦長均為1，并且半弦長、半徑與弦心距的關系為（$\frac{AB}{2}$）²+d²=r²，
所以d=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
所以圓心（a，2a）到該直線的距離為$\frac{\sqrt{15}}{2}$，則$\frac{|2a-2a+b|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
解的b=±$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
所以直線方程為y=2x±$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查圓的切線方程，考查學生分析解決問題的能力，考查直線與圓的位置關系，而當直線與圓相交時半弦長、半徑與弦心距的關系是解題的關鍵．