Question

15．設函數(shù)$f（x）=\sqrt{|{2x+1}|+|{2x-2}|-a}$．
（Ⅰ）當a=5時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的定義域為R，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=5時，$f（x）=\sqrt{|{2x+1}|+|{2x-2}|-5}$，即|2x+1|+|2x-2|≥5，討論x的取值，去掉絕對值，求出x的取值范圍；
（Ⅱ）由題意|2x+1|+|2x-2|-a≥0恒成立，即|2x+1|+|2x-2|≥a，求出|（2x+1）+（2x-2）|的最小值，即得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=5時，$f（x）=\sqrt{|{2x+1}|+|{2x-2}|-5}$，
令|2x+1|+|2x-2|-5≥0，得|2x+1|+|2x-2|≥5，
則$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-（2x+1）-（2x-2）≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤1}\\{（2x+1）-（2x-2）≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{（2x+1）+（2x-2）≥5}\end{array}\right.$，
解得x≤-1或∅或$x≥\frac{3}{2}$．
故函數(shù)f（x）的定義域是$（-∞，-\frac{1}{2}）∪[\frac{3}{2}，+∞）$；
（Ⅱ）由題設知，當x∈R時，恒有|2x+1|+|2x-2|-a≥0，
即|2x+1|+|2x-2|≥a．
又|2x+1|+|2x-2|≥|（2x+1）+（2x-2）|=3，
∴a≤3，
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]．

點評 本題考查了含有絕對值的不等式的解法與應用問題，解題時應對絕對值進行討論，以便去掉絕對值，是中檔題．