Question

3．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 直線A₁B與直線AC所成的角是45°
• B． 直線A₁B與平面ABCD所成的角是30°
• C． 二面角A₁-BC-A的大小是60°
• D． 直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角是30°

Answer 1

分析 對(duì)4個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于A，連結(jié)BC₁、A₁C₁，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A平行且等于C₁C，
∴四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，可得A₁C₁∥AC，
因此∠BA₁C₁（或其補(bǔ)角）是異面直線A₁B與AC所成的角，
設(shè)正方體的棱長為a，則△A₁B₁C中A₁B=BC₁=C₁A₁=$\sqrt{2}$a，
∴△A₁B₁C是等邊三角形，可得∠BA₁C₁=60°，
即異面直線A₁B與AC所成的角等于60°．即A不正確；
直線A₁B與平面ABCD所成的角是∠A₁BA=45°，即B不正確；
二面角A₁-BC-A的平面角是∠A₁BA=45°，即C不正確；
因?yàn)锽C₁⊥平面A₁B₁CD，所以A₁O為斜線A₁B在平面A₁B₁CD內(nèi)的射影，所以∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．設(shè)正方體的棱長為a
在RT△A₁BO中，A₁B=$\sqrt{2}$a，BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，所以BO=$\frac{1}{2}$A₁B，∠BA₁O=30°，
即直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角為30°，即D正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題在正方體中求異面直線所成角和直線與平面所成角的大小，著重考查了正方體的性質(zhì)、空間角的定義及其求法等知識(shí)，屬于中檔題．