Question

6．函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf'（x）-f（x）≤0，對(duì)任意正數(shù)a，b，若a＜b，則必有（　�。�

• A． bf（a）＜af（b）
• B． bf（a）＞af（b）
• C． bf（a）≤af（b）
• D． af（b）≤bf（a）

Answer 1

分析 由已知條件令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，判斷出F′（x）≤0，據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出F（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷出F（a）與F（b）的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)且滿足xf′（x）≤f（x），
令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）≤0，
∴F′（x）≤0，
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減或常函數(shù)
∵對(duì)任意的正數(shù)a、b，a＜b
∴$\frac{f（a）}{a}$≥$\frac{f（b）}$，
∵任意的正數(shù)a、b，a＜b，
∴af（b）≤bf（a）
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．