【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)分別作直線,交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為,,且,證明:直線過定點(diǎn).
【答案】(1);(2)證明見解析
【解析】
(1)由橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)可直接得,根據(jù)△是等腰直角三角形可得,進(jìn)而由橢圓方程中的關(guān)系即可得橢圓方程;
(2)分類討論直線的斜率不存在和直線斜率存在兩種情況:當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,并聯(lián)立橢圓后,設(shè),,由韋達(dá)定理表示出,根據(jù)斜率關(guān)系,整理可得與的等量關(guān)系,代入直線方程即可確定直線AB過定點(diǎn).當(dāng)斜率不存在時(shí),易證也過該定點(diǎn)即可.
(1)由已知可得,
是等腰直角三角形可得,
由,
則所求橢圓方程為.
(2)若直線的斜率存在,設(shè)方程為,依題意.
設(shè),,
由得.
則.
由已知,
所以,即.
所以,整理得.
故直線的方程為,即.
所以直線過定點(diǎn).
若直線的斜率不存在,設(shè)方程為,
設(shè),,由已知,
得.此時(shí)方程為,顯然過點(diǎn).
綜上,直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè),若不等式對都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若且時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)若直線與曲線交于、兩點(diǎn),設(shè),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別是,,點(diǎn)為的上頂點(diǎn),點(diǎn)在上,,且.
(1)求的方程;
(2)已知過原點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),垂直于的直線過且與橢圓交于,兩點(diǎn),若,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定:機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行道時(shí),應(yīng)當(dāng)減速慢行;遇行人正在通過人行道,應(yīng)當(dāng)停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”, 《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定:對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
違章駕駛員人數(shù) | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程;
(2)預(yù)測該路口9月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù).
參考公式: , .
參考數(shù)據(jù): .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在實(shí)數(shù)使得則稱是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn).
(1)求證:的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(2)若實(shí)數(shù)滿足:求證:存在,使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(3)給定實(shí)數(shù),若對于任意區(qū)間,是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),且不等式和不等式對于任意都恒成立,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列滿足,其中,且, 為常數(shù).
(1)若是等差數(shù)列,且公差,求的值;
(2)若,且存在,使得對任意的都成立,求的最小值;
(3)若,且數(shù)列不是常數(shù)列,如果存在正整數(shù),使得對任意的均成立. 求所有滿足條件的數(shù)列中的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓,其長軸長是短軸長的倍,過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)是橢圓上橫坐標(biāo)大于的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在軸上,圓內(nèi)切于,試判斷點(diǎn)在何位置時(shí)的長度最小,并證明你的判斷.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若數(shù)列滿足,存在實(shí)數(shù),對任意,都有,則稱數(shù)列有上界,是數(shù)列的一個(gè)上界,已知定理:單調(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂(即極限存在).
(1)數(shù)列是否存在上界?若存在,試求其所有上界中的最小值;若不存在,請說明理由;
(2)若非負(fù)數(shù)列滿足,(),求證:1是非負(fù)數(shù)列的一個(gè)上界,且數(shù)列的極限存在,并求其極限;
(3)若正項(xiàng)遞增數(shù)列無上界,證明:存在,當(dāng)時(shí),恒有.
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