Question

15．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．
（1）寫出曲線C的極坐標方程；
（2）設點M的極坐標為（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$），過點M的直線l與曲線C相交于A，B兩點，若|MA|=2|MB|，求AB的弦長．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的參數(shù)方程先求出曲線C的直角坐標方程，由此能求出曲線C的極坐標方程．
（2）先求出直線l的參數(shù)方程，與曲線C的直角坐標方程聯(lián)立，得t²+2（cosθ-sinθ）t-2=0，由此能求出AB的弦長．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-4y=0，
∴曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρsinθ=0，
即曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ．…5分
（2）設直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t•cosθ\\ y=1+t•sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）①
曲線C的直角坐標方程是x²+y²-4y=0，②
①②聯(lián)立，得t²+2（cosθ-sinθ）t-2=0，
∴t₁t₂=-2，且|MA|=2|NB|，∴t₁=-2t₂，
則t₁=2，t₂=-1或t₁=-2，t₂=1，
∴|AB的弦長AB|=|t₁-t₂|=3．…10分

點評 本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標方程與直角坐標方程的互化公式的合理運用．