Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx（ω＞0），且y=f（x）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，角C為銳角，且f（C）=$\sqrt{3}$，c=3，sinB=2sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式求得f（x）的解析式，根據(jù)周期公式求得ω的值，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由f（C）=$\sqrt{3}$，代入即可求得C，由正弦定理，求得a=2b，再由余弦定理求得a和b的值，由三角形面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC，即可求得△ABC的面積．

解答 解：（1）f（x）=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），
y=f（x）的最小正周期為π．
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
（2）∵f（C）=$\sqrt{3}$，2sin（2C-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∵角C為銳角，
解得：C=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=2R，
∵sinB=2sinA，
∴b=2a，
由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
∴9=a²+4a²-2a×2a×$\frac{1}{2}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．