Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點，△AF₁F₂的周長為6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當直線AB的斜率為1時，求△F₂AB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用離心率，橢圓的定義，列出方程組，即可求的a、b和c的值，即可求得橢圓C的方程；
（2）求得焦點坐標，求得AB的直線方程，代入橢圓方程，求得關于x的一元二次方程，由韋達定理求得x₁+x₂，x₁•x₂，由弦長公式及點到直線的距離公式求得丨AB丨和d，由三角形面積公式即可求得△F₂AB的面積．

解答 解：（1）由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
a=2c，
∵△AF₁F₂的周長為6，
即2a+2c=6，即a+c=3，
即可求得a=2，c=1，
b²=a²-c²=3
故橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）可知焦點F₁（-1，0），
直線AB的方程：y=x+1，
將直線方程代入橢圓方程得：
7x²+8x-8=0，
由x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁•x₂=-$\frac{8}{7}$
由弦長公式丨AB丨=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{2}$×$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
=$\frac{24}{7}$，
F₂到直線的距離為d=$\frac{丨0-1-1丨}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
△F₂AB的面積S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{24}{7}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題考查橢圓的性質，直線與圓錐曲線的位置關系，考查根與系數(shù)的關系、弦長公式、點到直線的距離公式，三角形的面積公式，考查轉化思想，推理能力與計算能力，屬于中檔題．